La méthode d'itération simple pour résoudre les systèmes d'équations linéaires (SLAE)

La méthode d'itération simple, appelée aussi méthodeapproximation séquentielle, est un algorithme mathématique pour trouver la valeur d'une quantité inconnue en l'affinant progressivement. L'essence de cette méthode est que, comme son nom l'indique, se développant progressivement à partir de l'approximation initiale, les suivantes reçoivent des résultats de plus en plus raffinés. Cette méthode est utilisée pour trouver la valeur d'une variable dans une fonction donnée, ainsi que pour résoudre des systèmes d'équations, linéaires et non linéaires.

Voyons comment cette méthode est implémentée dans la résolution de SLAE. La méthode d'itération simple a l'algorithme suivant:

1. Vérification de l'accomplissement de la condition de convergence dans la matrice originale. Théorème de convergence: si la matrice initiale du système a une prédominance diagonale (ie, dans chaque ligne les éléments de la diagonale principale doivent être plus gros que la somme des éléments des diagonales latérales modulo), alors la méthode d'itération simple est convergente.

2. La matrice du système original n'a pas toujours une prédominance diagonale. Dans de tels cas, le système peut être converti. Les équations qui satisfont la condition de convergence sont laissées intactes, et avec des combinaisons linéaires de compensation non satisfaisantes, c'est-à-dire multipliez, soustrayez, ajoutez les équations les unes aux autres jusqu'à ce que le résultat désiré soit obtenu.

Si dans le système résultant sur la diagonale principale il y a des coefficients peu pratiques, alors dans les deux parties d'une telle équation, ajouter des termes de la forme c_je* x_je dont les signes doivent coïncider avec les signes des éléments diagonaux.

3. Transformation du système obtenu à la forme normale:

x^-= β^-+ α * x^-

Cela peut se faire de plusieurs manières, par exemple comme suit: à partir de la première équation, exprimez x₁ à travers d'autres inconnues, à partir du second₂, à partir du troisième₃ et ainsi de suite. Nous utilisons les formules suivantes:

α_ij= - (a_ij / a_(ii)

_je= b_je/ a_ii
Il faut encore vérifier que le système de forme normale résultant correspond à la condition de convergence:

Σ (j = 1) | α_ij| ≤ 1, avec i = 1,2, ... n

4. Nous commençons à appliquer, en fait, la méthode des approximations successives.

x⁽⁰⁾- approximation initiale, on l'exprime à travers x⁽¹⁾, puis par x⁽¹⁾ nous exprimons x⁽²⁾. La formule générale dans la forme de matrice ressemble à ceci:

x⁽ⁿ⁾= β^-+ α * x^(n-1)

Nous calculons jusqu'à ce que nous obtenions la précision requise:

max | x_je(k) -x_je(k + 1) ≤ ε

Analysons donc en pratique la méthode d'itération simple. Exemple:
Pour résoudre SLAU:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 avec une précision de ε = 10^-3

Voyons si les éléments diagonaux prédominent dans le module.

Nous voyons que seule la troisième équation satisfait à la condition de la convergence. Tout d'abord, nous transformons, à la première équation, la seconde:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

À partir du troisième, nous soustrayons le premier:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Nous avons transformé le système d'origine en un système équivalent:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Maintenant, nous réduisons le système à la forme normale:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Nous vérifions la convergence du processus itératif:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, c'est-à-dire la condition est satisfaite.

0,3947
L'approximation initiale x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Nous substituons ces valeurs dans l'équation de la forme normale, nous obtenons les valeurs suivantes:

0,08835
x⁽¹⁾= 0.486793
0,446639

En substituant de nouvelles valeurs, on obtient:

0,215243
x⁽²⁾= 0.405396
0,558336

Nous continuons les calculs jusqu'au moment où nous approchons des valeurs qui satisfont la condition donnée.

0,18813

x⁽⁷⁾= 0.441091

0,544319

0,188002

x⁽⁸⁾ = 0.44164

0,544428

Vérifions l'exactitude des résultats:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2 0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Les résultats obtenus en substituant les valeurs trouvées dans les équations initiales satisfont complètement les conditions de l’équation.

Comme nous le voyons, la méthode d'itération simple donne des résultats assez précis, mais pour résoudre cette équation, nous avons dû passer beaucoup de temps et faire beaucoup de calculs encombrants.